Teoreem 1 Iga Reaalarvude cauchy jada koondub piirini.
Kuidas leida Cauchy jada piir?
Tõesta: Cauchy jada piirang an=limn→∞an.
Kas iga Cauchy jada koondub?
Iga tegelik Kauchy jada on koonduv. Teoreem.
Kas kõigil koonduvatel jadadel on piir?
Seetõttu on kõigi koonduvate järjestuste puhul piirang ainulaadne. Tähistus Oletame, et {an}n∈N on konvergentne. Siis on teoreemi 3.1 järgi piirang kordumatu ja seega võime selle kirjutada näiteks l-na.
Kas jada saab läheneda kahele erinevale piirile?
see tähendab, et L1 − L2=0 ⇒ L1=L2 ja seega jadal ei saa olla kahte erinevat piirangut. Selle ϵ puhul, kuna an koondub L1-le, on olemas indeks N1, nii et |an −L1| N1. Samal ajal koondub a L2-le ja seega on indeks N2, nii et |an −L2| N2.
