Mitteametlikult on rühm tsükliline kui selle genereerib üks element. See on Abeli, kui korrutamine pendeldab. Rühm on tsükliline, kui selle saab genereerida ühe elemendiga.
Kas Abeli rühmitus on tsükliline?
Kõik tsüklilised rühmad on Abeli, kuid Abeli rühm ei pruugi olla tsükliline. Kõik Abeli rühma alarühmad on normaalsed. Abeli rühmas on iga element omaette konjugaatsusklassis ja märgitabel hõlmab ühe elemendi võimsusi, mida nimetatakse rühmageneraatoriks.
Kuidas tõestada, et Abeli rühm on tsükliline?
Tõend
- Olgu G tsükliline rühm generaatoriga g∈G. Nimelt on meil G=⟨g⟩ (iga element G-s on g mingi aste.)
- Olgu a ja b G suvalised elemendid. Siis on olemas n, m∈Z, nii et a=gn ja b=gm.
- Seega saame suvalise a, b∈G jaoks ab=ba. Seega on G Abeli rühm.
Kuidas teate, kas rühm on tsükliline?
4 vastust. Lõplik rühm on tsükliline, kui ja ainult siis, kui sellel on täpselt üks alamrühm igast järjekorra jagajast. Nii et kui leiate kaks sama järjestusega alamrühma, pole rühm tsükliline ja see võib mõnikord aidata.
Mis on tsükliline rühma selgitamine näitega?
Näiteks (Z/6Z)×={1, 5} ja kuna 6 on kaks korda paaritu algarvu on tsükliline rühm. … Kui (Z/nZ)× on tsükliline, nimetatakse selle generaatoreid primitiivseteks juurteks modulo n. Algarvu p korral on rühm (Z/pZ)× alati tsükliline, mis koosneb järgu p lõpliku välja nullist erinevatest elementidest.
