Kui A on m × n maatriks, siis ATA-l ja AAT-l on samad nullist erinevad omaväärtused … Seetõttu on Ax omaväärtusele λ vastav AAT omavektor. Analoogset argumenti saab kasutada näitamaks, et iga AAT nullist erinev omaväärtus on ATA omaväärtus, mis viib tõestuse lõpule.
Kas AAT ja ATA omaväärtused on samad?
Maatriksitel AAT ja ATA on sama nullist erinevad omaväärtused. Jaotis 6.5 näitas, et nende sümmeetriliste maatriksite omavektorid on ortogonaalsed.
Kas ATA on sama mis AAT?
Kuna AAT ja ATA on päris sümmeetrilised, saab neid diagonaliseerida ortogonaalsete maatriksitega. Eelmisest väitest (kuna geomeetrilised ja algebralised kordused langevad kokku) tuleneb, et AAT-l ja ATA-l on samad omaväärtused.
Kas ATA-l on erinevad omaväärtused?
Tõsi. Näiteks kui A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , siis tunnusvõrrandil det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 pole korduvat juurt. Seega kõik A omaväärtused on erinevad ja A on diagonaliseeritav. 3.35 Iga reaalse maatriksi A korral on AtA alati diagonaliseeritav.
Kas erinevatel omavektoritel võib olla sama omaväärtus?
Kaks erinevat omavektorit, mis vastavad samale omaväärtusele, on alati lineaarselt sõltuvad. Kaks erinevat omavektorit, mis vastavad samale omaväärtusele, on alati lineaarselt sõltuvad.
