Näide: Gaussi täisarvude ring Z on lõplikult genereeritud Z-moodul ja Z on Noeteri. Eelmise teoreemi kohaselt on Z Noeteri ring. Teoreem: Noeteri rõngaste murdosa rõngad on noeterlikud.
Kas Z X on Noeteri sõrmus?
Rõngas Z[X, 1 /X] on noeeterlik, kuna see on isomorfne Z[X, Y]/(XY − 1).
Miks on Z noeterlane?
Kuid Z-s on ainult lõplikult palju ideaale, mis sisaldavad I1, kuna need vastavad Lemma 1.21 lõpliku ringi Z/(a) ideaalidele. Seega ahel ei saa olla lõpmatult pikk ja seega on Z noeterlane.
Mis on Noetheri domeen?
Iga peamine ideaalring, näiteks täisarvud, on Noeteri kuna iga ideaali genereerib üks elementSee hõlmab peamisi ideaalseid domeene ja eukleidilisi domeene. Dedekindi domeen (nt täisarvude ringid) on Noetheri domeen, milles iga ideaali genereerivad maksimaalselt kaks elementi.
Kuidas sa tõestad, et sõrmus on noeterilik?
Teoreem A ring R on noeterilik siis ja ainult kui iga mittetühi R ideaalide hulk sisaldab maksimaalset elementi Tõestus ⇐=Olgu I1 ⊆ I2 ⊆··· R ideaalide tõusev ahel. Pane S={I1, I2, …}. Kui iga mittetühi ideaalide hulk sisaldab maksimaalset elementi, siis S sisaldab maksimaalset elementi, öelge IN.
